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• 1. 兩大類分布的總體概述

• 2. 什么是期望？

• 3. 離散概率分布

• 3.1 伯努利分布

• 3.2二項分布，多項式分布

• 3.3幾何分布和負二項分布

• 3.4 超幾何分布

• 3.5 泊松分布

• 4. 連續概率分布

• 4.1 均勻分布

• 4.2正態分布

• 4.3 Beta分布

• 4.4 卡方分布

• 5. 補充

1. 兩大類分布的總體概述

概率分布是指用于表述隨機變量取值的概率規律，總體包括離散概率分布和連續概率分布。

離散概率分布包括：

1. 伯努利分布，又稱為 “0-1 分布” 或 “兩點分布”；
2. 二項分布，多項式分布（二項式分布的延伸）；
3. 幾何分布和負二項分布
4. 超幾何分布
5. 泊松分布

連續概率分布包括：

1. 均勻分布
2. 正態分布（常態分布，高斯分布）
3. Beta-分布
4. 卡方分布

2. 什么是期望？

在了解這些分布之前，需要先理解一個名詞——期望。

期望和均值類似，就連計算方法也類似，但是均值是對數據本身進行描述，但期望描述的是概率分布。

所以，變量X的期望通常寫作E(X)，E(X)的計算公式為： 

3. 離散概率分布

3.1 伯努利分布

是假設一個事件只有發生或者不發生兩種可能，這兩種可能是相互獨立卻對立，并且這兩種可能是固定不變的。那么，如果假設它發生的概率是p，那么它不發生的概率就是1-p。這就是伯努利分布。

伯努利實驗就是做一次服從伯努利概率分布的事件，它發生的可能性是p，不發生的可能性是q(1-p)。

舉例：拋一次硬幣，正反面各自的概率。

公式:

其中，x代表隨機變量可能的結果，即正反面或者實驗的陽性陰性結果。

期望:

方差：

3.2二項分布，多項式分布

3.2.1二項分布

二項分布是多次伯努利分布實驗的概率分布。

其條件為：

1. 獨立試驗；
2. 每次試驗都存在成功和失敗的可能，每一次試驗的成功概率相同；
3. 試驗次數有限（注意這個條件）

舉例: 為了區分概率，不再以硬幣舉例，這次以答題正確概率為例，隨機答題正確性為1/4，即答對可能性為0.25，計算3道題目答對1題的概率為：3 x 0.25^1^ x 0.75^2^

公式為：

, 其中 (也就是組合的公式)

p是每一次試驗的成功概率，n是試驗次數，又寫作：，

根據n與p的不同數值，二項分布的概率分布形狀會發生變化，p越接近0.5，圖形越對稱，p<0.5，圖形右偏，p>0.5，圖形左偏。圖形可見：二項分布概率直方圖

二項分布單次試驗的期望為 , 方差為

重復n次試驗的期望為 , 方差為

3.2.2多項式分布

多項分布是在二項分布的基礎上進一步的拓展。

也就是由計算只有兩種結果變成計算兩種以上結果的概率分布，

公式，

另一種形式(emmm真優雅)：

3.3幾何分布和負二項分布

幾何分布和負二項分布與二項分布恰恰相反，求的是在結果發生概率和發生次數已知的情況下，達成這一條件所需的事件總數的概率。

3.3.1幾何分布

幾何分布和二項分布極為相像，繼續以隨機答題為例，假定我們有一套題，在答對第一道題前要答多少題？這里的求解概率分布就是一種幾何分布。

其條件為：

1. 獨立試驗；
2. 每次試驗都存在成功和失敗的可能，每一次試驗的成功概率相同；
3. 為了取得第一次成功前需要進行多少次試驗？

每道題目答對概率都為0.25（p），答錯概率都為0.75（q），則當第4題才答對第一道題就為：0.25 x 0.75^3^

則，公式為：

其中，p為成功概率，q=1-p 為失敗概率，為了在第r次試驗時取得成功，首先要失敗（r-1）次。

期望為 ,  公式推導見幾何分布的期望公式的推導

方差為

3.3.2負二項分布

與幾何分布相比較，負二項分布多出了一個結果發生次數的參數。

繼續以答題為例，答對3道題需要做題多少？

公式：

其中，

p為答對概率，k為所要成功（答對）次數，因為第r個失敗是最后發生的，所以需要k+r-1次重復實驗中有k次成功的。

期望為

3.4 超幾何分布

從a個白球和b個黑球中抽取n個球，那么以X表示抽取出的白球的數目，這個求解概率則為超幾何分布

其條件為：

不放回抽樣

公式為：

3.5 泊松分布

泊松分布的本質還是二項分布，泊松分布只是用來簡化二項分布計算的。

一個簡單例子，每天下雨概率是12%，上個月下了5次雨，下個月下雨8次概率是多大？這個求解概率情況即為泊松分布。

泊松分布應用條件：

1. 單獨事情在給定區間（時間或者空間）內隨機、獨立發生；
2. 已知該區間平均發生次數（發生率），且為有限數值（通常以λ表示）。

若X符合泊松分布，且每個區間內平均發生λ次，則為

X~ P~o~(λ)

發生r次事件的概率公式為：

其中，r為給定區間發生目的事件次數，e為數學常數2.718。

舉例和公式推導，網上有個例子解釋得很好，見用一個”栗子“講清楚泊松分布

因為X~ P~o~(λ)，則E(X)為給定區間內能夠期望的事件發生數目，也就是求解區間內發生的平均發生次數，則期望，即E(X)等于λ，方差也為λ（泊松分布的參數本身就是期望和方差）。

泊松分布的概率形狀為：λ小，則分布向右偏斜，隨著λ變大，分布逐漸變得對稱（為什么會這樣？參考見如何深刻理解二項式分布到泊松分布

另外，泊松分布在特定條件下可以用來近似代替二項分布。

已知，二項分布公式為： ，

當n過大時，計算變得繁瑣，而又知道重復n次試驗的期望為 , 方差為

所以當λ≈np，λ≈npq ，即np≈npq時候，也就是q近似為1且n足夠大時，我們可以用泊松分布替代二項分布，則條件為

1. n次數足夠大，默認>50;
2. p足夠小，默認<0.1;

4. 連續概率分布

4.1 均勻分布

相等區間（時間，空間，長度等等）分布概率相等，較為簡單不予過多描述

均勻分布由兩個參數a和b定義，它們是數軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b） 密度函數公式為：

期望,

方差為

4.2正態分布

若隨機連續變量X符合期望為μ、標準差為σ的正態分布，則通常寫作X~N(μ， σ2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標準正態分布。

其公式為

這個公式第一眼有點繁瑣，但其實當進行拆分后并不復雜，推導之前先了解一個公式標準分計算，

其中，μ表示均值，σ為標準差，Z值為某個值x偏離均數μ的標準差倍數。

公式中前半部分 只是一個系數，為固定值，而后半部分 可以簡化為，當Z為0時，最大，也最大，而當x=μ也就是均值時，整個密度函數達到最大值，而當x越偏離μ時，密度函數越小，當無限遠的時候，就趨近于0。現在看前半部分， 由于π固定，值的變化由σ標準差決定，sigma越大，值越小，整個分布越會呈低矮形狀。

期望與方差計算為:

4.3 Beta分布

以下參考自，鏈接

一個袋子里面有很多球，我們不知道球的個數只知道球的顏色（紅，白），我們現在從中取出一個球（二次實驗），根據先驗經驗我們猜測紅白概率為（0.5，0.5），服從兩點分布。那么我們開始有放回地從中抽取100次（多次二項試驗），得到紅球為70次，黃球為30次，這時候我們又重新猜測紅白概率（0.7，0.3）。那么如果我們再將上面試驗做150次，即重復150次的多次二次實驗，最后得到紅白概率為{0.7,0.3}這樣概率為多少？這就是Beta分布。

公式為

$$f(x \mid a, b)=\frac{1}{B(a, b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, 0<x<1(a, b="" data-tool="mdnice編輯器">0) $$

期望與方差計算：

4.4 卡方分布

若n個相互獨立的隨機變量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服從標準正態分布（也稱獨立同分布于標準正態分布），則這n個服從標準正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其卡方分布規律稱為x^2,分布（chi-square distribution），其中參數n稱為自由度，正如正態分布中均值或方差不同就是另一個x2正態分布一樣，自由度不同就是另一個分布。記為 Q~x^2(k). 卡方分布是由正態分布構造而成的一個新的分布，當自由度n很大時，X^2分布近似為正態分布。對于任意正整數k， 自由度為 k的卡方分布是一個隨機變量X的機率分布。

其公式為：

期望與方差計算為：

5. 補充

二項分布和幾何分布的區別是什么？各自應該在什么時候用？

二項分布和幾何分布的應用條件很類似，兩者的前兩個條件（①獨立試驗；②每一次試驗的成功概率相同），差別在于實際上要求的結果。如果試驗次數固定，求成功一定次數的概率，則需要使用二項分布；使用二項分布還可以求出在n次試驗中能夠期望得到的成功次數。如果要求第一次成功之前需要試驗多少次，則需要使用幾何分布。

1. 首次成功時的實驗 n 次的概率 -- 幾何分布
2. N 次實驗中的成功 S 次的概率 -- 二項分布

參考鏈接：

伯努利分布、二項分布以及多項分布

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50462601

https://blog.csdn.net/qq_37960402/article/details/88953500

https://www.cnblogs.com/Renyi-Fan/p/13909553.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24711669

https://blog.csdn.net/zlbflying/article/details/47777943

https://zhidao.baidu.com/question/431881117.html

書籍：統計學的世界

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